erf x что означает - ComputerMaker.info

y = erf(x)
y = erfc(x)
y = erfcx(x)
x = erfinv(y)

Функция ошибки erf(x) определяется следующим образом [2]:

erf(x) = .

Функция y = erfc(x) задается соотношением

erfc(x) = = 1 — erf(x).

Функция y = erfcx(x) определяется так:

erfcx(x) = erfc(x).

Для вычисления этих функций используется вспомогательная функция erfcore(x, n). При этом справедливо

erf(x) = erfcore(x, 0);
erfc(x) = erfcore(x, 1);
erfcx(x) = erfcore(x, 2).

Обратная функция ошибки x = erfinv(y) имеет область определения -1

Исправляем ошибки: Нашли опечатку? Выделите ее мышкой и нажмите Ctrl+Enter

Температурное поле непрерывного неподвижного точечного источника в неограниченной среде. Функция ошибок Гаусса (функция erf(x))

Если в точке с координатами х у’, z’ в интервале времени от t’ = 0 до t’ = t работает источник тепла мощностью W, то температурное поле этого источника, как указано выше, может быть найдено интегрированием фундаментального решения по t’ от 0 до t (т.е. от момента включения до момента выключения источника). Поместим начало координат в точку, где находится источник тепла. Тогда х’ = у’ = z’= О, и формула для температуры принимает вид:

Произведем в интеграле (3.34) замену переменных: г 2 / [4г/ (t — Г)] = а 2 . Тогда: ‘) V2 = г 3 /(Sa V2 a 3 ),

dt’ = г 2 da / (2 аа 2 ), пределы интегрирования: Н = 0 ->

a = r/(2fat), t’ = t^>a = °°, и формула (3.34) принимает вид:

Первый интеграл, стоящий в скобках, известен из курса высшей математики:

а второй интеграл через элементарные функции не выражается и определяет специальную функцию, которая называется

функцией ошибок Гаусса, или интегралом вероятностей, или функцией эрфектум:

(читается «эрфектум» или сокращенно: «эрф»). Через эту функцию выражаются решения многих задач в теории теплопроводности, да и в других областях физики она играет важную роль.

Из определения (3.36) видно, что erj <0) =0, a erj<о°) = 1, т. е. егДх) — это монотонно возрастающая функция, вид которой изображен на рис. 3.5. Функция erj табулирована, и ее значения приводятся в различных справочниках; в табл. 3.2 приведены несколько значений этой функции. В библиотеках некоторых языков программирования имеются готовые подпрограммы для вычисления функции егДх). Если готовой подпрограммы нет, функцию erj можно вычислить с помощью степенного ряда. «Стандартное» разложение этой функции в степенной ряд, которое обычно приводится в математических справочниках, имеет вид:

Некоторые значения функции erj

Этот ряд удобен для анализа свойств функции, но для практических расчетов он неудобен, т. к. является знакопеременным, что при вычислениях приводит к потере точности. Более удобен следующий ряд:

С помощью этого ряда легко составить программу вычисления егДх) на любом языке программирования и даже на программируемом микрокалькуляторе. Суммирование надо прекращать, когда при добавлении очередного а„-го слагаемого сумма перестанет меняться (будет достигнута «машинная точность»).

Если большой точности не требуется, то можно использовать приближенную формулу:

Формула (3.37) дает значения, абсолютная погрешность которых не более 6.3-10′ 1 , а относительная погрешность не более 0.71%.

Иногда требуется определить erf в области отрицательных значений х. Из формулы (3.36) очевидно, что erf <-x)= = -erf

С функцией erj связано еще несколько функций, часто встречающихся в теплофизических задачах. Это прежде всего дополнительный интеграл вероятностей:

который встречается настолько часто, что для него используется специальное обозначение: erfc(x) (сокращенно читается «эрфик»). Вид этой функции также приведен на рис. 3.5.

Довольно часто функцию erjx) приходится дифференцировать и интегрировать. Из определения (3.36) следует, что

а интеграл от erfc(x) (обозначается как ierfc(x)) равен:

Вернемся к формуле (3.35). Замечая, чторса = Я, запишем эту формулу в виде:

При t —> оо значение функции erf[r/(2yfat)] —» О, erfc[r/ (2y[at) —» 1, и формула (3.35), как и должно быть, совпадает с формулой для стационарного решения (если То принять за начало отсчета температуры), т. к. при t —*? °о достигается стационарное распределение температуры в безграничной среде.

Функция ошибок, она же функция Лапласа, он же интеграл вероятности — все это одна и та же сущность, которая выражается функцией

и используется в статистике и теории вероятностей.

Функция неэлементарная, то есть её нельзя представить в виде элементарных (тригонометрических и алгебраических) функций.

Для расчета в нашем калькуляторе, мы используем связь с неполной гамма функцией

Кроме этого мы сможем здесь же вычислить, дополнительную функцию ошибок, обозначаемую (иногда применяется обозначение ) и определяется через функцию ошибок:

В приницпе это все, что можно сказать о ней.

Калькулятор высчитывает результат как в вещественном так и комплексном поле.

Замечание: Функция прекрасно работает на всем поле комплексных чисел при условии если аргумент ( фаза) меньше 180 градусов. Это связано с особенностью вычисления этой функции, неполной гамма функции, интегральной показательной функцией через непрерывные дроби.

Отсюда следует вывод, что при отрицательных вещественных аргументах, функция будет выдавать неверные решения. Но при всех положительных, а также отрицательных комплексных аргументах функция ошибок выдает верный ответ.